أنظمة الأرقام

يمكن تقسيم أنظمة الأعداد المختلفة التي كانت موجودة في الماضي والمستخدمة اليوم إلى: غير الموضعية والموضعية. تسمى العلامات المستخدمة لكتابة الأرقام بالأرقام.

في غير موضعيفي أنظمة الأرقام، لا يحدد موضع الرقم في تدوين الرقم القيمة التي يمثلها. مثال نظام الأرقام غير الموضعيةهو النظام الروماني الذي يستخدم الحروف اللاتينية كأرقام:

على سبيل المثال، VI = 5 + 1 = 6، و IX = 10 - 1 = 9.

في الموضعيةفي أنظمة الأرقام، تعتمد القيمة التي يُشار إليها برقم في الرقم على موضعه. يتم استدعاء عدد الأرقام المستخدمة أساسأنظمة الأرقام. يُسمى مكان كل رقم في الرقم موضع. أول نظام معروف لنا يعتمد على المبدأ الموضعي هو النظام الستيني البابلي. كانت الأرقام الموجودة فيه من نوعين، أحدهما يدل على الوحدات، والآخر - العشرات. وقد بقيت آثار النظام البابلي حتى يومنا هذا في طرق قياس وتسجيل الزوايا والفترات الزمنية.

ومع ذلك، فإن النظام العشري الهندوسي العربي له قيمة أكبر بالنسبة لنا. كان الهنود أول من استخدم الصفر للإشارة إلى الأهمية الموضعية لكمية ما في سلسلة من الأرقام. تم تسمية هذا النظام عدد عشريلأنه يتكون من عشرة أرقام.

من أجل فهم الفرق بين أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية بشكل أفضل، فكر في مثال لمقارنة رقمين. في نظام الأرقام الموضعية، تتم المقارنة بين رقمين على النحو التالي: في الأرقام قيد النظر، من اليسار إلى اليمين، تتم مقارنة الأرقام الموجودة في نفس المواضع. الرقم الأكبر يتوافق مع قيمة رقم أكبر. على سبيل المثال، بالنسبة للرقمين 123 و234، 1 أقل من 2، لذا فإن 234 أكبر من 123. في نظام الأرقام غير الموضعي، لا تنطبق هذه القاعدة. مثال على ذلك هو المقارنة بين رقمين IX و VI. على الرغم من أنني أصغر من V، فإن IX أكبر من VI.

عادةً ما تتم الإشارة إلى قاعدة نظام الأرقام الذي يُكتب فيه الرقم بالحرف المنخفض. على سبيل المثال، 555 7 هو رقم مكتوب في نظام الأرقام العشري. إذا تم كتابة رقم في النظام العشري، فعادة لا تتم الإشارة إلى الأساس. أساس النظام هو أيضًا رقم، وسنشير إليه بالنظام العشري المعتاد. بشكل عام، يمكن تمثيل الرقم x في نظام p الأساسي بالشكل x=a n *p n +a n-1 *p n-1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 ، حيث a n ...a 0 - أرقام تمثل رقمًا معينًا. على سبيل المثال،

1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

أعظم اهتمام عند العمل على جهاز كمبيوتر هو أنظمة الأرقام ذات القواعد 2 و 8 و 16. بشكل عام، عادة ما تكون أنظمة الأرقام هذه كافية للعمل الكامل لكل من الشخص والكمبيوتر. ومع ذلك، في بعض الأحيان، بسبب ظروف مختلفة، لا يزال من الضروري الاتصال بأنظمة الأرقام الأخرى، على سبيل المثال، إلى نظام الأرقام الثلاثي أو الحاجز أو الأساسي 32.

من أجل التعامل بشكل طبيعي مع الأرقام المكتوبة في مثل هذه الأنظمة غير التقليدية، من المهم أن نفهم أنها لا تختلف بشكل أساسي عن النظام العشري الذي اعتدنا عليه. ويتم إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب فيها وفقًا لنفس المخطط.

لماذا لا نستخدم أنظمة الأعداد الأخرى؟ ويرجع ذلك أساسًا إلى أننا اعتدنا في حياتنا اليومية على استخدام نظام الأعداد العشرية، ولا نحتاج إلى أي نظام آخر. في أجهزة الكمبيوتر يتم استخدامه نظام الأرقام الثنائيةنظرًا لأن العمل على الأرقام المكتوبة في شكل ثنائي أمر بسيط للغاية.

يُستخدم النظام السداسي العشري غالبًا في علوم الكمبيوتر، نظرًا لأن كتابة الأرقام فيه أقصر بكثير من كتابة الأرقام في النظام الثنائي. قد يطرح السؤال: لماذا لا نستخدم نظام الأرقام، على سبيل المثال الأساس 50، لكتابة أعداد كبيرة جدًا؟ يتطلب نظام الأرقام هذا 10 أرقام عادية بالإضافة إلى 40 علامة تتوافق مع الأرقام من 10 إلى 49، ومن غير المرجح أن يرغب أي شخص في العمل مع هذه الأحرف الأربعين. لذلك، في الحياة الواقعية، لا يتم استخدام أنظمة الأرقام المستندة إلى أسس أكبر من 16 عمليًا.

نظام الأرقام الثنائية

الناس يفضلون العلامة العشرية نظامربما لأنهم كانوا يعدون على الأصابع منذ العصور القديمة. لكن الناس لم يستخدموا العلامة العشرية دائمًا وليس في كل مكان نظامالحساب. ففي الصين، على سبيل المثال، تم استخدام النظام الخماسي لفترة طويلة نظامالحساب. تستخدم أجهزة الكمبيوتر النظام الثنائي لأنه يتمتع بعدد من المزايا مقارنة بالأنظمة الأخرى:

لتنفيذه الفني عناصر ذات حالتين محتملتين(يوجد تيار - لا يوجد تيار، ممغنط - غير ممغنط)؛

تمثيل المعلومات من خلال حالتين فقط موثوقة ومقاومة للضوضاء ;

ربما تطبيق جهاز الجبر البوليلإجراء تحويلات منطقية للمعلومات؛

الحساب الثنائي أبسط من الحساب العشري (جداول الجمع والضرب الثنائية بسيطة للغاية).

في الثنائية نظام حساب الميتتم الاتصال برقمين فقط الثنائية (أرقام ثنائية). أدى اختصار هذا الاسم إلى ظهور المصطلح قليل، والذي أصبح اسم رقم الرقم الثنائي. تختلف أوزان الأرقام في النظام الثنائي بقوى اثنين. وبما أن وزن كل رقم يتم ضربه إما بـ 0 أو 1، فإن القيمة الناتجة للرقم يتم تحديدها كمجموع القوى المقابلة للرقمين. إذا كانت أي بتة من الرقم الثنائي تساوي 1، فإنها تسمى البتة المهمة. كتابة رقم بالنظام الثنائي أطول بكثير من كتابته بالنظام العشري نظام رقم.

العمليات الحسابية التي تتم في النظام الثنائي تتبع نفس القواعد المتبعة في النظام العشري. فقط في النظام الثنائي يحدث نقل الوحدات إلى الرقم الأكثر أهمية في كثير من الأحيان أكثر من النظام العشري. هذا ما يبدو عليه جدول الإضافة في النظام الثنائي:

دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث عملية ضرب الأرقام الثنائية. دعونا نضرب الرقم 1101 في 101 (كلا الرقمين موجودان). نظام الأرقام الثنائية). تقوم الآلة بذلك بالطريقة التالية: تأخذ الرقم 1101، وإذا كان العنصر الأول من العامل الثاني هو 1، فإنها تقوم بإدخاله في المجموع. ثم ينقل الرقم 1101 إلى اليسار بمقدار موضع واحد، فيحصل على 11010، وإذا كان العنصر الثاني من العامل الثاني يساوي واحدًا، فإنه يضيفه أيضًا إلى المجموع. وإذا كان عنصر المضاعف الثاني صفراً فإن المجموع لا يتغير.

يعتمد القسمة الثنائية على الطريقة المألوفة لك من القسمة العشرية، أي أنها تتلخص في إجراء عمليات الضرب والطرح. تنفيذ الإجراء الرئيسي - اختيار رقم مضاعف للمقسوم عليه والمراد تصغيره قابل للقسمة، الأمر أبسط هنا، نظرًا لأن هذا الرقم لا يمكن أن يكون إلا 0 أو المقسوم عليه نفسه.

تجدر الإشارة إلى أن معظم الآلات الحاسبة المطبقة على الكمبيوتر (بما في ذلك KCalc) تسمح لك بالعمل على أنظمة الأرقام ذات القواعد 2 و8 و16 وبالطبع 10.

أنظمة الأرقام الثامنة والسادسة عشرة

عند إعداد أجهزة الكمبيوتر أو إنشاء برنامج جديد، يصبح من الضروري "النظر داخل" ذاكرة الجهاز من أجل تقييم حالته الحالية. لكن كل شيء هناك مليء بتسلسلات طويلة من الأصفار والآحاد من الأرقام الثنائية. هذه التسلسلات غير مريحة للغاية بالنسبة لشخص معتاد على التدوين الأقصر للأرقام العشرية. بالإضافة إلى ذلك، فإن القدرات الطبيعية للتفكير البشري لا تسمح لنا بتقدير حجم الرقم الذي يمثله، على سبيل المثال، مجموعة من 16 صفرًا وواحدًا بسرعة ودقة.

لتسهيل إدراك الرقم الثنائي، قرروا تقسيمه إلى مجموعات من الأرقام، على سبيل المثال، ثلاثة أو أربعة أرقام. تبين أن هذه الفكرة ناجحة جدًا، نظرًا لأن التسلسل المكون من ثلاث بتات يحتوي على 8 مجموعات، والتسلسل المكون من 4 بتات يحتوي على 16. الرقمان 8 و16 هما قوى العدد اثنين، لذلك من السهل مطابقة الأرقام الثنائية. ومن خلال تطوير هذه الفكرة، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه يمكن تشفير مجموعات من البتات مع تقليل طول تسلسل الأحرف. لتشفير ثلاث بتات، يلزم وجود ثمانية أرقام، لذلك أخذنا الأرقام من 0 إلى 7 أرقام عشرية أنظمة. لتشفير أربع بتات، هناك حاجة إلى ستة عشر حرفًا؛ للقيام بذلك، أخذنا 10 أرقام من النظام العشري و 6 أحرف من الأبجدية اللاتينية: A، B، C، D، E، F. الأنظمة الناتجة، التي لها قواعد 8 و 16، كانت تسمى ثماني وسداسي عشري، على التوالي.

في ثماني (ثماني) يستخدم نظام الأرقام ثمانية أرقام مختلفة 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7. قاعدة النظام هي 8. عند كتابة أرقام سالبة، يتم وضع علامة الطرح أمام تسلسل الأرقام. يتم إجراء عمليات جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الممثلة في نظام الأعداد الثماني بكل بساطة كما يتم إجراؤها في نظام الأعداد العشرية المعروف.

في السداسي عشري (السداسي عشري) يستخدم نظام الأرقام عشرة أرقام مختلفة والأحرف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية. عند كتابة أرقام سالبة، ضع علامة الطرح على يسار تسلسل الأرقام. من أجل تمييز الأرقام المكتوبة بالنظام السداسي العشري عن غيرها عند كتابة برامج الكمبيوتر، يتم وضع 0x أمام الرقم. أي أن 0x11 و11 أرقام مختلفة. وفي حالات أخرى، يمكنك الإشارة إلى قاعدة نظام الأرقام بحرف منخفض.

يستخدم نظام الأرقام السداسية العشرية على نطاق واسع لتحديد ظلال مختلفة من الألوان عند تشفير المعلومات الرسومية (نموذج RGB). لذلك، في محرر النص التشعبي Netscape ملحنيمكنك تعيين ألوان للخلفية أو النص في كل من أنظمة الأرقام العشرية والست عشرية.

الأرقام هي الثانية الأكثر شيوعا بعد العلامة العشرية المألوفة، على الرغم من أن القليل من الناس يفكرون في ذلك. سبب هذا الطلب هو أنه هو الذي يتم استخدامه. سنتحدث عن هذا لاحقًا، ولكن أولاً، بضع كلمات عن نظام الأرقام بشكل عام.

تشير هذه العبارة إلى نظام التسجيل أو التمثيل المرئي الآخر للأرقام. هذا تعريف جاف. لسوء الحظ، لا يفهم الجميع ما هو مخفي وراء هذه الكلمات. ومع ذلك، كل شيء بسيط للغاية، وظهر نظام الأرقام الأول في نفس الوقت عندما تعلم الناس العد. إن أبسط طريقة لتمثيل الأرقام هي التعرف على بعض الأشياء مع أشياء أخرى، على سبيل المثال، أصابع اليدين وعدد الفواكه التي تم جمعها في وقت معين. ومع ذلك، هناك عدد أقل بكثير من الأصابع على اليدين مقارنة بالأشياء التي يمكن عدها. بدأ استبدالهم بالعصي أو الخطوط على الرمال أو الحجر. كان هذا هو أول نظام أرقام، على الرغم من أن المفهوم نفسه ظهر في وقت لاحق بكثير. يطلق عليه اسم غير موضعي لأن كل رقم فيه له معنى محدد بدقة، بغض النظر عن الموضع الذي يشغله في السجل.

لكن مثل هذا التسجيل غير مريح للغاية، وبعد ذلك جاءت الفكرة لتجميع الأشياء وتعيين كل مجموعة بحجر، وليس بعصا، أو برسم شكل آخر عند التسجيل. وكانت هذه هي الخطوة الأولى نحو إنشاء الأنظمة الموضعية، والتي تضمنت نظام الأرقام الثنائية. ومع ذلك، فقد تم تشكيلها أخيرًا فقط بعد اختراع الأرقام. نظرًا لحقيقة أنه في البداية كان من الملائم أكثر للناس الاعتماد على أصابعهم، والتي يمتلك الشخص العادي 10 منها، فقد أصبح النظام العشري هو الأكثر شيوعًا. الشخص الذي يستخدم هذا النظام لديه أرقام من 0 إلى 9 تحت تصرفه، وبالتالي، عندما يصل الشخص إلى 9 أثناء العد، أي أنه يستنفد مخزون الأرقام، فإنه يكتب رقمًا واحدًا إلى الرقم التالي ويعيد ضبط الآحاد على الصفر. وهذا هو جوهر أنظمة الأرقام الموضعية: يعتمد معنى الأرقام في الرقم بشكل مباشر على الموضع الذي يشغله.

يوفر نظام الأرقام الثنائية رقمين فقط للحسابات، فمن السهل تخمين أنهما 0 و 1. وبناء على ذلك، تظهر أرقام جديدة عند الكتابة في هذه الحالة في كثير من الأحيان: يحدث انتقال السجل الأول بالفعل عند الرقم 2، وهو المعينة في النظام الثنائي كـ 10.

من الواضح أن هذا النظام أيضًا ليس مناسبًا جدًا للكتابة، فلماذا هو مطلوب جدًا؟ الشيء هو أنه عند بناء أجهزة الكمبيوتر، تبين أن النظام العشري غير مريح للغاية وغير مربح، لأن إنتاج جهاز بعشر حالات مختلفة مكلف للغاية، ويشغل مساحة كبيرة. لذلك اعتمدوا النظام الثنائي الذي اخترعه الإنكا.

من غير المرجح أن يسبب التحويل إلى نظام الأرقام الثنائية أي صعوبات لأي شخص. الطريقة الأبسط والأكثر مباشرة للقيام بذلك هي قسمة الرقم على اثنين حتى يكون الجواب صفرًا. في هذه الحالة، تتم كتابة الباقي بشكل منفصل من اليمين إلى اليسار بالتتابع. لننظر إلى مثال، خذ الرقم 73: 73\2 = 36 و1 في الباقي، نكتب الوحدات في أقصى اليمين، نكتب كل الباقي على يسار هذه الوحدة. إذا قمت بكل شيء بشكل صحيح، فيجب أن يكون لديك الرقم التالي: 1001001.

كيف يقوم الكمبيوتر بتحويل رقم إلى نظام الأرقام الثنائية، حيث أننا نقوم بإدخال الأرقام العشرية من لوحة المفاتيح؟ هل هو حقا قابل للقسمة على 2؟ بطبيعة الحال لا. يتوافق كل مفتاح على لوحة المفاتيح مع سطر معين في جدول التشفير. نضغط على زر، يقوم برنامج يسمى برنامج التشغيل بنقل تسلسل معين من الإشارات إلى المعالج. وهذا بدوره يرسل طلبًا إلى الجدول حول الحرف الذي يتوافق مع هذا التسلسل، ويعرض هذا الحرف على الشاشة، أو ينفذ إجراءً، إذا لزم الأمر.

الآن أنت تعرف مدى أهمية نظام الأرقام الثنائية في حياتنا. بعد كل شيء، يتم الآن القيام بالكثير في عالمنا بمساعدة أنظمة الحوسبة الإلكترونية، والتي بدورها ستكون مختلفة تمامًا لولا هذا النظام.

تعليمات

لاستخدام نظام الأرقام الثنائية، يجب تمثيل كل رقم على شكل رباعيات من الأرقام الثنائية. على سبيل المثال، يتم تقسيم الرقم السداسي العشري 967 إلى رباعيات على النحو التالي: 9 = 1001، 6 = 0110، 7 = 0111. الرقم الثنائي الناتج هو 100101100111.

لتحويل رقم عشري إلى نظام الأرقام الثنائية، يجب عليك تقسيمه على اثنين بالتسلسل، وفي كل مرة تكتب النتيجة كعدد صحيح وباقي. ويجب أن تستمر القسمة حتى يبقى عدد يساوي الواحد. يتم الحصول على الرقم النهائي من خلال تسجيل نتيجة القسمة الأخيرة وباقي الأقسام جميعها بالترتيب العكسي. على سبيل المثال، يوضح الشكل إجراء تحويل الرقم العشري 25 إلى نظام الأرقام الثنائية. القسمة المتتالية على اثنين تعطي التسلسل التالي من الباقي: 10011. وبقلبه نحصل على الرقم المطلوب.

ملحوظة

لذلك، بعد أن حصلنا، نتيجة لسلسلة من الضرب في 2، على أصفار فقط على يمين العمودي، نكمل عملية تحويل الكسر العشري الأقل من واحد إلى نظام الأرقام الثنائية ونكتب الإجابة: واضح أننا سنواجه في كثير من الأحيان مثل هذا الكسر العشري الأولي عند الضرب برقمين، والوقوف على يمين العمودي لن يؤدي إلى ظهور أصفار فقط هناك.

نصائح مفيدة

نحن نعرف بالفعل كيفية تحويل الأرقام إلى أنظمة أرقام مختلفة. دعونا نرى كيف يحدث هذا مع نظام الأرقام الثنائية. لنقم بتحويل الرقم من نظام الأرقام الثنائية إلى نظام الأرقام العشري. ولذلك، تم اختراع نظامي الأعداد الثماني والست عشري. وهي ملائمة، مثل الأرقام العشرية، حيث يلزم وجود عدد أقل من الأرقام لتمثيل الرقم. وبالمقارنة مع الأرقام العشرية، فإن التحويل إلى ثنائي بسيط للغاية.

مصادر:

• ترجمة نظام الأرقام الثنائية

تحتوي مكونات الآلات الإلكترونية، بما في ذلك أجهزة الكمبيوتر، على حالتين فقط يمكن تمييزهما: يوجد تيار ولا يوجد تيار. تم تحديدهما بالرقم "1" و"0" على التوالي. نظرًا لوجود حالتين فقط من هذه الحالات، يمكن وصف العديد من العمليات والعمليات في الإلكترونيات باستخدام الأرقام الثنائية.

تعليمات

اقسم العدد العشري على اثنين حتى تحصل على باقي لا يقبل القسمة على اثنين. في هذه الخطوة، نحصل على الباقي 1 (إذا كان المقسوم فرديًا) أو 0 (إذا كان المقسوم يقبل القسمة على اثنين بدون باقي). ويجب أن تؤخذ كل هذه التوازنات في الاعتبار. سيكون حاصل القسمة الأخير الذي تم الحصول عليه نتيجة لهذا التقسيم خطوة بخطوة واحدًا دائمًا.
نكتب الوحدة الأخيرة بالرقم الأكثر أهمية من الرقم الثنائي المطلوب، ونكتب الباقي الذي تم الحصول عليه في العملية بعد هذه الوحدة بترتيب عكسي. هنا عليك توخي الحذر وعدم تخطي الأصفار.
وبالتالي، فإن الرقم 235 في الكود الثنائي سوف يتوافق مع الرقم 11101011.

الآن دعونا نحول الجزء الكسري من الرقم العشري إلى نظام الأرقام الثنائية. للقيام بذلك، نضرب الجزء الكسري من الرقم بالتتابع في 2 ونصلح الأجزاء الصحيحة من الأرقام الناتجة. نضيف هذه الأجزاء الصحيحة إلى الرقم الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة بعد النقطة الثنائية بالترتيب المباشر.
ثم الكسر العشري 235.62 يتوافق مع الكسر الثنائي 11101011.100111.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

سيكون الجزء الكسري الثنائي من الرقم محدودًا فقط إذا كان الجزء الكسري من الرقم الأصلي محدودًا وينتهي بـ 5. أبسط حالة: 0.5 × 2 = 1، وبالتالي فإن 0.5 في النظام العشري هو 0.1 في النظام الثنائي.

مصادر:

• تحويل الأرقام العشرية إلى نظام الأرقام الثنائية

هناك العديد من أنظمة الأرقام. لذلك، يمكن تمثيل الرقم العشري المألوف، على سبيل المثال، كتعداد للأحرف الثنائية - سيكون هذا ترميزًا ثنائيًا للرقم. في النظام الثماني ذو الأساس 8، يتم كتابة الرقم كمجموعة من الأرقام من 0 إلى 7. لكن نظام الأرقام السداسي العشري، أو النظام ذو الأساس 16، هو الأكثر انتشارًا لكتابة رقم، الأرقام من 0 إلى 9 و يتم أخذ الحروف اللاتينية من A إلى F هنا لتحويل الرقم العشري إلى شكله الست عشري باستخدام جدول البحث. والعدد الأكبر من 15 يُترجم بتوسيع بسيط إلى قوى، مع تكرار عملية القسمة على الأساس 16.

تعليمات

اكتب الرقم العشري الأصلي. إذا كان الرقم أقل من أو يساوي 15، استخدم جدول التحويل لكتابته في شكل سداسي عشري. يتم استبدال الأرقام التي تزيد عن 9 بحرف، لذلك يتم استبدال 10 بالحرف A بقاعدة 16، و15 بالحرف F.

تحقق من الناتج لمعرفة ما إذا كان أقل من 16. إذا كان الناتج أكبر من أو يساوي 16، اقسم الناتج على 16 أيضًا. اقسم النتائج التي تم الحصول عليها على 16 عدة مرات حسب الضرورة للحاصل الأقل من 16. إذا تبين أن الناتج أقل من 16، فاختره أيضًا كباقي.

سجل الأرصدة الناتجة ابتداءً من الرقم الأخير. استبدل الباقي برقم أكبر من 9 باستخدام جدول المراسلات بحرف النظام الست عشري. التدوين الناتج هو تمثيل سداسي عشري للرقم العشري الأصلي.

نصائح مفيدة

وبالمثل، باستخدام القسمة على الأساس 8 أو 2، يمكنك كتابة أي رقم بالترميز العشري بالترميز الثماني والثنائي.

تم اختراع نظام الأرقام الثنائية قبل عصرنا. ومع ذلك، اليوم، وبفضل انتشار أجهزة الكمبيوتر وبرامج الكود الثنائي، فقد تلقى هذا النظام إحياءً ثانيًا. يدرس تلاميذ المدارس التمثيل الثنائي للأرقام باستخدام رقمين فقط 0 و1 في صف علوم الكمبيوتر. إنه التمثيل الثنائي للرقم الذي "تفهمه" جميع أجهزة الكمبيوتر. يتم وصف التحويل إلى النظام الثنائي من أي نظام آخر بالتفصيل باستخدام طرق مختلفة. تعتبر أبسط طريقة هي توسيع الصلاحيات للقاعدة 2.

تعليمات

إذا كان الرقم الأصلي يمثله، لتحويله، استخدم طريقة القسمة على الأساس 2. للقيام بذلك، قم بتقسيم الرقم على 2 واكتب الباقي الناتج. إذا تبين أن القسمة الناتجة أكثر من اثنين، قسّمها مرة أخرى على 2 واحفظ الباقي الناتج أيضًا.

استمر في تكرارات القسمة حتى يصبح حاصل القسمة أقل من 2. بعد ذلك، اكتب سلسلة الأرقام التي تم الحصول عليها في الباقي والحاصل النهائي، بدءًا من التكرار الأخير. سيكون هذا الإدخال 0 و1 هو التمثيل الثنائي للرقم الأصلي.

إذا تم تمثيل الرقم المحدد بالنظام الست عشري، استخدم جدول التحويل لتحويله إلى ثنائي. فيه، كل رقم من 0 إلى F في النظام السداسي العشري يتناقض مع مجموعة مكونة من أربعة أرقام في الكود الثنائي.

لذا، إذا كان لديك سجل بالنموذج: 4BE2، لترجمته، يجب عليك استبدال كل حرف بمجموعة الأرقام المقابلة من جدول النقل. يتم الحفاظ بدقة على الترتيب الذي تتم به كتابة الأرقام. وبالتالي، سيتم استبدال الرقم 4 من النظام السداسي العشري بـ 0100 وB - 1011 وE - 1110 و2 - 0010. وسيبدو الرقم الأصلي 4BE2 بالتدوين الثنائي كما يلي: 0100101111100010.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• كيفية تحويل الرقم 1000 في النظام الثلاثي إلى ثنائي

يتطلب تحويل رقم يدويًا من الرقم العشري إلى الثنائي مهارات القسمة المطولة. التحويل العكسي - من النظام الثنائي إلى النظام العشري - يتطلب فقط استخدام الضرب والجمع، ثم على الآلة الحاسبة.

تعليمات

بجوار الرقم الأقل أهمية من الرقم الثنائي، اكتب الرقم العشري 1، وبجوار المكان التالي الأكثر أهمية، اكتب الرقم العشري 2.

اضغط على مفتاح علامة المساواة في الآلة الحاسبة مرة أخرى - وستحصل على 4. اكتب هذا الرقم بجوار الرقم الثالث الأكثر أهمية. اضغط على مفتاح علامة المساواة مرة أخرى للحصول على 8. اكتب ثمانية بجوار الرقم الرابع الأكثر أهمية في الرقم الثنائي. كرر العملية حتى تتم كتابة كافة الأرقام الثنائية بجانب بعضها البعض.

حاول أن تتذكر هذه الأرقام على الأقل حتى 131072. صدقني، حفظ قوى العدد 2 في هذا المجلد أسهل بكثير من جدول الضرب على سبيل المثال. في هذه الحالة، عند ترجمة نظام من الأعداد الصغيرة، يمكنك الاستغناء عن الآلة الحاسبة في هذه المرحلة.

ولكن في المرحلة التالية سوف لا تزال بحاجة إلى آلة حاسبة. ومع ذلك، إذا رغبت في ذلك (أو إذا طلب مدرس علوم الكمبيوتر ذلك)، يمكن إجراء هذا الحساب في عمود. أضف معًا فقط تلك الأرقام العشرية المكتوبة بجوار أرقام الرقم الثنائي الذي تبلغ قيمته . ستكون نتيجة هذه الإضافة هي الرقم العشري المطلوب.

لتعزيز مهارات تحويل الأرقام يدويا من ثنائي إلى عشري، العب اللعبة التعليمية المقترحة. للقيام بذلك، ستحتاج إلى آلة حاسبة علمية يمكن تحويلها إلى النظام الثنائي. تعتبر الآلة الحاسبة الافتراضية المتوفرة في نظامي Linux وWindows مناسبة أيضًا إذا قمت بتحويلها إلى الوضع الهندسي. اطلب من أحد اللاعبين أن يخمن ويكتب رقمًا عشريًا على الآلة الحاسبة، ثم يكتبه، ثم يحول الآلة الحاسبة إلى الوضع الثنائي. اللاعب الثاني، الذي يستخدم فقط آلة حاسبة عادية (غير هندسية)، أو يقوم بالعد بشكل عام باستخدام عمود فقط، يجب عليه تحويل هذا الرقم إلى النظام العشري. إذا قام بالترجمة بشكل صحيح، فإن اللاعبين يغيرون الأدوار. وإذا أخطأ فليحاول مرة أخرى.

فيديو حول الموضوع

في نظام العد الذي نستخدمه كل يوم، هناك عشرة أرقام - من صفر إلى تسعة. ولهذا السبب يطلق عليه اسم عشري. ومع ذلك، في الحسابات الفنية، وخاصة تلك المتعلقة بأجهزة الكمبيوتر، يتم أيضًا استخدام أنظمة أخرى، على وجه الخصوص الثنائية والست عشرية. لذلك، يجب أن تكون قادرًا على تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

سوف تحتاج

• - قطعة ورق؛
• - قلم رصاص أو قلم؛
• - آلة حاسبة.

تعليمات

النظام الثنائي هو الأبسط. يتكون من رقمين فقط - صفر وواحد. كل رقم من الرقم الثنائي، بدءًا من النهاية، يمثل قوة العدد اثنين. اثنان يساوي واحدًا، في الأول - اثنان، في الثاني - أربعة، في الثالث - ثمانية، وهكذا.

لنفترض أنك حصلت على الرقم الثنائي 1010110. الوحدات الموجودة فيه تقع في المراكز الثاني والثالث والخامس والسابع. لذلك، في النظام العشري هذا الرقم هو 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

مشكلة معكوسة - نظام الأرقام العشرية. لنفترض أن لديك الرقم 57. للحصول عليه، يجب عليك تقسيم الرقم بالتسلسل على 2 وكتابة الباقي. سيتم بناء الرقم الثنائي من النهاية إلى البداية.
الخطوة الأولى ستعطيك الرقم الأخير: 57/2 = 28 (الباقي 1).
ثم تحصل على الثانية من النهاية: 28/2 = 14 (الباقي 0).
مزيد من الخطوات: 14/2 = 7 (الباقي 0)؛
7/2 = 3 (الباقي 1)؛
3/2 = 1 (الباقي 1)؛
1/2 = 0 (الباقي 1).
هذه هي الخطوة الأخيرة لأن نتيجة القسمة هي صفر. ونتيجة لذلك، حصلت على الرقم الثنائي 111001.
تحقق من إجابتك: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

والثاني، المستخدم في شؤون الكمبيوتر، هو النظام الست عشري. إنه ليس عشرة أرقام، بل ستة عشر رقما. من أجل عدم إنشاء اصطلاحات جديدة، تتم الإشارة إلى الأرقام العشرة الأولى من النظام السداسي العشري بالأرقام العادية، والستة المتبقية - بأحرف لاتينية: A، B، C، D، E، F. في التدوين العشري، تتوافق مع الأرقام من 10 إلى 15. لتجنب الخلط قبل الرقم المكتوب بالنظام الست عشري، استخدم العلامة # أو الرمز 0x.

خطة الدرس

هنا سوف تتعلم:

♦ كيفية العمل مع الأرقام.
♦ ما هو جدول البيانات؟
♦ كيف يتم حل المشاكل الحسابية.
♦ استخدام جداول البيانات.
♦ كيفية الاستخدام جداول البياناتلنمذجة المعلومات.

نظام الأرقام الثنائية

أهم مواضيع الفقرة:

♦ أنظمة الأرقام العشرية والثنائية.
♦ شكل موسع لكتابة الرقم.
♦ تحويل الأرقام الثنائية إلى النظام العشري.
♦ تحويل الأرقام العشرية إلى النظام الثنائي.
♦ حساب الأعداد الثنائية.

سنناقش في هذا الفصل تنظيم العمليات الحسابية حاسوب. تتضمن الحوسبة تخزين ومعالجة الأرقام.

يعمل الكمبيوتر مع الأرقام في نظام الأرقام الثنائية.

تعود هذه الفكرة إلى جون فون نيومان، الذي صاغ مبادئ تصميم وتشغيل أجهزة الكمبيوتر في عام 1946. دعونا معرفة ما هو نظام الأرقام.

أنظمة الأعداد العشرية والثنائية

نظام الأرقام، أو في صيغته المختصرة SS، هو نظام لتسجيل الأرقام التي تحتوي على مجموعة محددة من الأرقام.

لقد تعرفت على تاريخ أنظمة الأعداد المختلفة عندما درست الفصل السابع من الكتاب المدرسي. واليوم سنوجه انتباهنا إلى أنظمة الأرقام مثل SS الثنائي والعشري.

كما تعلم بالفعل من المواد التي تمت دراستها مسبقًا، فإن أحد أنظمة الأرقام الأكثر استخدامًا هو نظام SS العشري. ويسمى هذا النظام بذلك لأن أساس تكوين هذه الكلمة هو الرقم 10. ولهذا السبب يسمى نظام الأرقام العشري.

أنت تعلم بالفعل أن هذا النظام يستخدم عشرة أرقام مثل 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. لكن الرقم عشرة له دور استثنائي، حيث أن هناك عشرة أصابع في أيدينا. أي أن عشرة أرقام هي أساس نظام الأرقام هذا.

لكن في نظام الأرقام الثنائية، يتضمن رقمين فقط، مثل 0 و1، وقاعدة هذا النظام هي الرقم 2.

الآن دعونا نحاول معرفة كيفية تمثيل القيمة باستخدام رقمين فقط.

شكل موسع لكتابة الرقم

دعنا ننتقل إلى ذاكرتنا ونتذكر المبدأ الموجود في العلامة العشرية لكتابة الأرقام. وهذا يعني أنه لن يكون سرا بالنسبة لك أن تسجيل الرقم في مثل هذا SS يعتمد على موقع الرقم، أي على موضعه.

لذلك، على سبيل المثال، الرقم الموجود في أقصى اليمين يخبرنا بعدد وحدات هذا الرقم، والرقم الذي يلي هذا الرقم، كقاعدة عامة، يشير إلى عدد الاثنين، وما إلى ذلك.

إذا أخذنا أنا وأنت، على سبيل المثال، رقمًا مثل 333، فسنرى أن الرقم الموجود في أقصى اليمين يمثل ثلاث وحدات، ثم ثلاث عشرات، ثم ثلاث مئات.

الآن دعونا نمثل هذا على أنه المساواة التالية:

نرى هنا مساواة يتم فيها توفير التعبير الموجود على الجانب الأيمن من علامة المساواة في الصورة الموسعة لكتابة هذا العدد متعدد الأرقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لعدد عشري متعدد الأرقام، والذي يتم تقديمه أيضًا في شكل موسع:

تحويل الأرقام الثنائية إلى النظام العشري

الآن لنأخذ كمثال رقم ثنائي مهم مثل:

في هذا الرقم ذو المعنى نرى الرقم اثنين في الجانب الأيمن السفلي، مما يشير لنا إلى قاعدة نظام الأرقام. أي أننا نفهم أن هذا رقم ثنائي ولا يمكننا الخلط بينه وبين رقم عشري.

وتزداد قيمة كل رقم لاحق في الرقم الثنائي بمقدار مرتين مع كل خطوة من اليمين إلى اليسار. الآن دعونا نرى كيف سيبدو الشكل الموسع لكتابة هذا الرقم الثنائي:

في هذا المثال، نرى كيف يمكننا تحويل رقم ثنائي إلى النظام العشري.

الآن دعونا نعطي بعض الأمثلة الإضافية لتحويل الأرقام الثنائية إلى نظام الأرقام العشري:

يوضح لنا هذا المثال أن العدد العشري المكون من رقمين، في هذه الحالة، يتوافق مع رقم ثنائي مكون من ستة أرقام. يتميز النظام الثنائي بزيادة عدد الأرقام مع زيادة قيمة الرقم.

الآن دعونا نرى كيف ستبدو بداية السلسلة الطبيعية للأرقام في النظام العشري (A10) والثنائي (A2) SS:

تحويل الأرقام العشرية إلى ثنائية

بعد الاطلاع على الأمثلة أعلاه، أتمنى أن تكون قد فهمت الآن كيفية تحويل الرقم الثنائي إلى رقم عشري متساوٍ. حسنا، الآن دعونا نحاول القيام بالترجمة العكسية. دعونا نرى ما يتعين علينا القيام به لهذا الغرض. لمثل هذه الترجمة، علينا أن نحاول تحليل الرقم العشري إلى مصطلحات تمثل قوى العدد اثنين. دعونا نعطي مثالا:

كما ترون، هذا ليس بالأمر السهل. دعونا نحاول إلقاء نظرة على طريقة أخرى أبسط للتحويل من النظام العشري SS إلى النظام الثنائي. تتمثل هذه الطريقة في حقيقة أن الرقم العشري المعروف يُقسم، كقاعدة عامة، على اثنين، وسيكون الباقي الناتج بمثابة رقم منخفض الترتيب للرقم المطلوب. نقسم هذا الرقم الذي تم الحصول عليه حديثًا مرة أخرى على اثنين ونحصل على الرقم التالي من الرقم المطلوب. وسنستمر في عملية القسمة هذه حتى يصبح الناتج أقل من أساس النظام الثنائي، أي أقل من اثنين. سيكون حاصل القسمة الناتج هو أعلى رقم من الرقم الذي كنا نبحث عنه.

دعونا الآن نلقي نظرة على طرق كتابة القسمة على اثنين. على سبيل المثال، لنأخذ الرقم 37 ونحاول تحويله إلى النظام الثنائي.

في هذه الأمثلة نرى أن a5، a4، a3، a2، a1، a0 هي تعيينات الأرقام في تدوين الرقم الثنائي، والتي يتم تنفيذها بالترتيب من اليسار إلى اليمين. ونتيجة لذلك سوف نحصل على:

حساب الرقم الثنائي

إذا انتقلنا من القواعد الحسابية، فمن السهل أن نلاحظ أنها في نظام الأرقام الثنائية أبسط بكثير مما كانت عليه في نظام الأرقام العشرية.

الآن دعونا نتذكر خيارات إضافة وضرب الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد.

بسبب هذه البساطة، التي تتلاءم بسهولة مع بنية البت في ذاكرة الكمبيوتر، جذب نظام الأرقام الثنائية انتباه مصممي الكمبيوتر.

انتبه إلى كيفية تنفيذ مثال لإضافة رقمين ثنائيين متعددي الأرقام باستخدام عمود:

وإليك مثال على ضرب أرقام ثنائية متعددة الأرقام في عمود:

هل لاحظت مدى سهولة وبساطة تنفيذ مثل هذه الأمثلة.

باختصار عن الشيء الرئيسي

نظام الأرقام هو قواعد معينة لكتابة الأرقام وطرق إجراء العمليات الحسابية المرتبطة بهذه القواعد.

أساس نظام الأرقام يساوي عدد الأرقام المستخدمة فيه.

الأرقام الثنائية هي أرقام في نظام الأرقام الثنائية. تتم كتابتها باستخدام رقمين: 0 و 1.

الشكل الموسع لكتابة الرقم الثنائي هو تمثيله كمجموع قوى اثنين مضروبة في 0 أو 1.

يرجع استخدام الأرقام الثنائية في الكمبيوتر إلى بنية البت في ذاكرة الكمبيوتر وبساطة الحساب الثنائي.

مزايا نظام الأرقام الثنائية

الآن دعونا نلقي نظرة على مزايا نظام الأرقام الثنائية:

أولاً، تتمثل ميزة نظام الأرقام الثنائية في أنه من السهل جدًا بمساعدته تنفيذ عمليات تخزين المعلومات ونقلها ومعالجتها على الكمبيوتر.
ثانيًا، لإكماله، لا يكفي عشرة عناصر، بل عنصران فقط؛
ثالثا، عرض المعلومات باستخدام حالتين فقط أكثر موثوقية وأكثر مقاومة للتداخلات المختلفة؛
رابعاً: من الممكن استخدام الجبر المنطقي لتنفيذ التحويلات المنطقية؛
خامسا، لا يزال الحساب الثنائي أبسط من الحساب العشري، وبالتالي فهو أكثر ملاءمة.

عيوب نظام الأرقام الثنائية

نظام الأرقام الثنائية أقل ملاءمة، لأن الناس معتادون أكثر على استخدام النظام العشري، وهو أقصر بكثير. ولكن في النظام الثنائي، تحتوي الأعداد الكبيرة على عدد كبير إلى حد ما من الأرقام، وهو عيب كبير.

لماذا يعد نظام الأرقام الثنائية شائعًا جدًا؟

يحظى نظام الأرقام الثنائية بشعبية كبيرة لأنه لغة الحوسبة، حيث يجب تمثيل كل رقم بطريقة ما على وسيط مادي.

بعد كل شيء، من الأسهل أن يكون لديك حالتان عند إنشاء عنصر مادي بدلاً من التوصل إلى جهاز يجب أن يحتوي على عشر حالات مختلفة. توافق على أن الأمر سيكون أكثر صعوبة.

في الواقع، هذا هو أحد الأسباب الرئيسية لشعبية نظام الأرقام الثنائية.

تاريخ نظام الأرقام الثنائية

إن تاريخ إنشاء نظام الأرقام الثنائية في الحساب مشرق للغاية وسريع الخطى. يعتبر مؤسس هذا النظام هو العالم وعالم الرياضيات الألماني الشهير جي دبليو لايبنتز. نشر مقالاً وصف فيه القواعد التي يمكن من خلالها إجراء جميع أنواع العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية.

لسوء الحظ، حتى بداية القرن العشرين، كان نظام الأعداد الثنائية بالكاد ملحوظًا في الرياضيات التطبيقية. وبعد أن بدأت أجهزة الحساب الميكانيكية البسيطة في الظهور، بدأ العلماء في إيلاء اهتمام أكثر نشاطًا لنظام الأرقام الثنائية وبدأوا في دراستها بنشاط، لأنه كان مناسبًا ولا غنى عنه لأجهزة الحوسبة. إنه النظام البسيط الذي يمكنك من خلاله تنفيذ مبدأ تحديد الموقع بشكل كامل في الشكل الرقمي لتسجيل الأرقام.

الأسئلة والمهام

1. اذكر مزايا وعيوب نظام الأرقام الثنائية مقارنة بنظام الأرقام العشري.
2. ما هي الأرقام الثنائية التي تتوافق مع الأرقام العشرية التالية:
128; 256; 512; 1024?
3. ما هي الأعداد الثنائية التالية التي تساويها في النظام العشري:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. قم بتحويل الأرقام الثنائية التالية إلى أرقام عشرية:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. قم بتحويل الأرقام العشرية التالية إلى نظام الأرقام الثنائية:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. إجراء عملية الجمع في نظام الأرقام الثنائية:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. إجراء الضرب في نظام الأرقام الثنائية:
111 10؛ 111 11؛ 1101 101؛ 1101 · 1000.

I. Semakin، L. Zalogova، S. Rusakov، L. Shestakova، علوم الكمبيوتر، الصف التاسع
مقدمة من القراء من مواقع الإنترنت

النظام الثنائي

نظام الأرقام الثنائيةهو نظام أرقام موضعي ذو أساس 2. في نظام الأرقام هذا، تتم كتابة الأعداد الطبيعية باستخدام رمزين فقط (عادةً الأرقام 0 و1).

يستخدم النظام الثنائي في الأجهزة الرقمية لأنه أبسطها ويلبي المتطلبات:

• كلما قل عدد القيم في النظام، أصبح من الأسهل تصنيع العناصر الفردية التي تعمل على هذه القيم. على وجه الخصوص، يمكن تمثيل رقمين من نظام الأرقام الثنائية بسهولة من خلال العديد من الظواهر الفيزيائية: يوجد تيار - لا يوجد تيار، أو يكون تحريض المجال المغناطيسي أكبر من قيمة العتبة أم لا، وما إلى ذلك.
• كلما قل عدد الحالات التي يمتلكها العنصر، زادت مناعة الضوضاء وزادت سرعة تشغيله. على سبيل المثال، لتشفير ثلاث حالات من خلال حجم تحريض المجال المغناطيسي، ستحتاج إلى إدخال قيمتي عتبة، والتي لن تساهم في مناعة الضوضاء وموثوقية تخزين المعلومات.
• الحساب الثنائي بسيط للغاية. بسيطة هي جداول الجمع والضرب - العمليات الأساسية مع الأرقام.
• من الممكن استخدام جهاز الجبر المنطقي لإجراء عمليات البت على الأرقام.

روابط

• آلة حاسبة على الإنترنت لتحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على "النظام الثنائي" في القواميس الأخرى:

النظام الثنائي، في الرياضيات، هو نظام أرقام له أساس 2 (النظام العشري له أساس 10). وهو الأنسب للعمل مع أجهزة الكمبيوتر لأنه بسيط ويتوافق مع وضعين (مفتوح 0 ومغلق... ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

النظام الثنائي- - موضوعات الاتصالات، المفاهيم الأساسية في النظام الثنائي... دليل المترجم الفني

النظام الثنائي- حالة النظام المتغيرة تلقائيًا: engl. النظام الثنائي فوك. بينارسيستم، ن روس. النظام الثنائي، و برانك. النظام الثنائي، م … نهاية تلقائية

النظام الثنائي- حالة نظام التشغيل الخاصة بملفات تعريف الارتباط: engl. النظام الثنائي؛ نظام ثنائي vok. بينارسيستم، ن؛ النظام المزدوج، ن روس. النظام الثنائي، و برانك. النظام الثنائي، م … نهاية فيزيكوس žodynas

جارج. عشيق. يمزح. التسمم الشديد. بي بي اس، 2002 ... قاموس كبير من الأمثال الروسية

نظام الأرقام الموضعية ذو الأساس 2، حيث يتم استخدام الأرقام 0 و 1 لكتابة الأرقام انظر أيضًا: أنظمة الأرقام الموضعية القاموس المالي Finam ... القاموس المالي

نظام الأرقام الثنائية، طريقة لكتابة الأرقام التي يتم فيها استخدام رقمين 0 و1. تشكل وحدتان من الرقم الأول (أي المساحة المشغولة في الرقم) وحدة من الرقم الثاني، ووحدتين من شكل الرقم الثاني. وحدة من الرقم الثالث، الخ... ... الموسوعة الحديثة

نظام الأرقام الثنائية- نظام الأرقام الثنائية، طريقة لكتابة الأرقام التي يتم فيها استخدام رقمين 0 و1. تشكل وحدتان من الرقم الأول (أي المساحة المشغولة في الرقم) وحدة من الرقم الثاني، ووحدتين من الرقم الثاني. تشكيل وحدة من الرقم الثالث الخ ... ... القاموس الموسوعي المصور

نظام الأرقام الثنائية- نظام يستخدم مجموعات من الأرقام 1 و0 لتمثيل الحروف الأبجدية الرقمية والرموز الأخرى، وهو أساس الرموز المستخدمة في أجهزة الكمبيوتر الرقمية... نشر كتاب مرجعي القاموس

نظام الأرقام الثنائية- نظام الأعداد الموضعية ذو الأساس 2، والذي يتكون من رقمين 0 و1، وجميع الأعداد الطبيعية مكتوبة بتسلسلها. على سبيل المثال. الرقم 2 يكتب كـ 10، الرقم 4 = 22 كـ 100، الرقم 900 كـ 11 رقم: 11 110 101 000... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

كتب

• صيف أرخميدس، أو تاريخ كومنولث علماء الرياضيات الشباب. نظام الأرقام الثنائية، بوبروف إس، نظام الأرقام الثنائية، "برج هانوي"، حركة الفارس، المربعات السحرية، المثلث الحسابي، الأرقام الشكلية، التركيبات، مفهوم الاحتمالات، شريط موبيوس والزجاجة... الفئة: عن كل شيء في العالمالناشر: