Continuiamo a comprendere le basi dell'algebra. Oggi lavoreremo con, vale a dire, considereremo un'azione come mettendo il fattore comune tra parentesi.
Contenuto della lezioneIl principio fondamentale
La legge distributiva della moltiplicazione consente di moltiplicare un numero per un importo (o un importo per un numero). Ad esempio, per trovare il valore dell'espressione 3 × (4 + 5), puoi moltiplicare il numero 3 per ciascun termine tra parentesi e sommare i risultati:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Il numero 3 e l'espressione tra parentesi possono essere scambiati (questo deriva dalla legge commutativa della moltiplicazione). Quindi ogni termine tra parentesi verrà moltiplicato per il numero 3
(4+5)× 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15
Per ora non calcoleremo la costruzione 3×4+3×5 e sommaremo i risultati ottenuti 12 e 15. Lasciamo l'espressione nella forma 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Di seguito ne avremo bisogno esattamente in questa forma per comprendere l'essenza di togliere il fattore comune tra parentesi.
La legge distributiva della moltiplicazione è talvolta chiamata inserimento di un fattore tra parentesi. Nell'espressione 3 × (4 + 5), il fattore 3 è stato lasciato fuori parentesi. Moltiplicandolo per ciascun termine tra parentesi, lo abbiamo sostanzialmente portato all'interno delle parentesi. Per chiarezza puoi scriverlo in questo modo, anche se non è consuetudine scriverlo in questo modo:
3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)
Poiché nell'espressione 3×(4+5) il numero 3 viene moltiplicato per ciascun termine tra parentesi, questo numero è un fattore comune per i termini 4 e 5
Come accennato in precedenza, moltiplicando questo fattore comune per ciascun termine tra parentesi, lo inseriamo tra parentesi. Ma è anche possibile il processo inverso: il fattore comune può essere tolto dalle parentesi. In questo caso, nell'espressione 3×4 + 3×5 il moltiplicatore generale è chiaramente visibile: è un moltiplicatore di 3. È necessario eliminarlo dall'equazione. Per fare ciò, scrivi prima il fattore 3 stesso
e accanto ad essa tra parentesi è scritta l'espressione 3×4 + 3×5 ma senza il fattore comune 3, poiché è tolto tra parentesi
3 (4 + 5)
Togliendo il fattore comune dalle parentesi, otteniamo l'espressione 3 (4 + 5) . Questa espressione è identica all'espressione precedente 3×4 + 3×5
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Se calcoliamo entrambi i membri dell'uguaglianza risultante, otteniamo l'identità:
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
27 = 27
Come fa il fattore comune a uscire dalle parentesi?
Posizionare il fattore comune fuori dalle parentesi è essenzialmente l'operazione inversa di mettere il fattore comune all'interno delle parentesi.
Se, quando introduciamo un fattore comune tra parentesi, moltiplichiamo questo fattore per ciascun termine tra parentesi, quando spostiamo questo fattore fuori dalle parentesi, dobbiamo dividere ciascun termine tra parentesi per questo fattore.
Nell'espressione 3×4 + 3×5, di cui si è parlato sopra, questo è quello che è successo. Ogni termine è stato diviso per un fattore comune pari a 3. I prodotti 3×4 e 3×5 sono termini perché se li calcoliamo otteniamo la somma 12+15
Ora possiamo vedere nel dettaglio come si toglie tra parentesi il fattore generale:
Si può vedere che il fattore comune 3 viene prima tolto tra parentesi, poi tra parentesi ogni termine viene diviso per questo fattore comune.
La divisione di ciascun termine per un fattore comune può essere eseguita non solo dividendo il numeratore per il denominatore, come mostrato sopra, ma anche riducendo queste frazioni. In entrambi i casi otterrai lo stesso risultato:
Abbiamo esaminato l'esempio più semplice di estrazione di un fattore comune tra parentesi per comprendere il principio di base.
Ma non tutto è così semplice come sembra a prima vista. Dopo che il numero è stato moltiplicato per ciascun termine tra parentesi, i risultati vengono sommati e il fattore comune viene perso di vista.
Torniamo al nostro esempio 3 (4 + 5). Applichiamo la legge distributiva della moltiplicazione, ovvero moltiplichiamo il numero 3 per ciascun termine tra parentesi e aggiungiamo i risultati:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15
Dopo aver calcolato la costruzione 3 × 4 + 3 × 5, otteniamo la nuova espressione 12 + 15. Vediamo che il divisore comune di 3 è scomparso dalla vista. Ora, nell'espressione risultante 12 + 15, proviamo a togliere il fattore comune dalle parentesi, ma per eliminarlo dobbiamo prima trovarlo.
Di solito, quando risolviamo i problemi, incontriamo proprio quelle espressioni in cui il fattore comune deve essere trovato prima di poterlo eliminare.
Per togliere il fattore comune tra parentesi nell'espressione 12 + 15, è necessario trovare il massimo fattore comune (MCD) dei termini 12 e 15. Il MCD trovato sarà il fattore comune.
Troviamo quindi il MCD dei termini 12 e 15. Ricordiamo che per trovare il MCD è necessario scomporre i numeri originali in fattori primi, quindi scrivere la prima scomposizione e rimuovere da essa i fattori che non sono compresi nel scomposizione del secondo numero. I restanti fattori devono essere moltiplicati per ottenere il MCD desiderato. Se hai difficoltà a questo punto, assicurati di ripetere.
Il mcd dei termini 12 e 15 è il numero 3. Questo numero è il fattore comune dei termini 12 e 15. Dovrebbe essere tolto tra parentesi. Per fare ciò, scriviamo prima il fattore 3 stesso e accanto ad esso tra parentesi scriviamo una nuova espressione in cui ogni termine dell'espressione 12 + 15 è diviso per un fattore comune 3
Bene, ulteriori calcoli non sono difficili. L'espressione tra parentesi è facile da calcolare: dodici diviso tre fa quattro, UN quindici diviso tre fa cinque:
Pertanto, togliendo il fattore comune tra parentesi nell'espressione 12 + 15, si ottiene l'espressione 3(4 + 5). La soluzione dettagliata è la seguente:
La soluzione breve salta la notazione mostrando come ogni termine è diviso per un fattore comune:
Esempio 2. 15 + 20
Il massimo comun divisore dei termini 15 e 20 è il numero 5. Questo numero è il divisore comune dei termini 15 e 20. Togliamolo tra parentesi:
Abbiamo ottenuto l'espressione 5(3 + 4).
L'espressione risultante 5(3 + 4) può essere verificata. Per fare ciò, basta moltiplicare i cinque per ciascun termine tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere l'espressione 15 + 20
Esempio 3. Togli il fattore comune tra parentesi nell'espressione 18 + 24 + 36
Troviamo il mcd dei termini 18, 24 e 36. Per trovare , devi scomporre questi numeri in fattori primi, quindi trovare il prodotto dei fattori comuni:
Il mcd dei termini 18, 24 e 36 è il numero 6. Questo numero è il fattore comune dei termini 18, 24 e 36. Togliamolo tra parentesi:
Controlliamo l'espressione risultante. Per fare ciò, moltiplica il numero 6 per ciascun termine tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere l'espressione 18 + 24 + 36
Esempio 4. Togli il divisore comune tra parentesi nell'espressione 13 + 5
I termini 13 e 5 sono numeri primi. Si decompongono solo in uno e se stessi:
Ciò significa che i termini 13 e 5 non hanno fattori comuni diversi da uno. Di conseguenza, non ha senso mettere questa unità tra parentesi, poiché non darà nulla. Mostriamo questo:
Esempio 5. Togli il fattore comune tra parentesi nell'espressione 195 + 156 + 260
Troviamo il mcd dei termini 195, 156 e 260
Il mcd dei termini 195, 156 e 260 è il numero 13. Questo numero è un fattore comune per i termini 195, 156 e 260. Togliamolo tra parentesi:
Controlliamo l'espressione risultante. Per fare ciò, moltiplica 13 per ciascun termine tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere l'espressione 195 + 156 + 260
Un'espressione in cui è necessario togliere il fattore comune tra parentesi può essere non solo una somma di numeri, ma anche una differenza. 16 − 12 − 4. Il massimo comun divisore dei numeri 16, 12 e 4 è il numero 4. Prenderemo questo numero tra parentesi:
Controlliamo l'espressione risultante. Per fare ciò, moltiplica quattro per ciascun numero tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere l'espressione 16 − 12 − 4
Esempio 6. Togli il fattore comune tra parentesi nell'espressione 72 + 96 − 120
Troviamo il MCD dei numeri 72, 96 e 120
GCD per 72, 96 e 120 è il numero 24. Questo numero è il fattore comune dei termini 195, 156 e 260. Togliamolo tra parentesi:
Controlliamo l'espressione risultante. Per fare ciò, moltiplica 24 per ciascun numero tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, dovremmo ottenere l'espressione 72+96−120
Anche il fattore complessivo tolto tra parentesi può essere negativo. Ad esempio, togliamo il fattore comune dalle parentesi nell'espressione −6 − 3. Ci sono due modi per togliere il fattore comune dalle parentesi in questa espressione. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.
Metodo 1.
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:
−6 + (−3)
Ora troviamo il fattore comune. Il fattore comune di questa espressione sarà il massimo comun divisore dei termini −6 e −3.
Il modulo del primo termine è 6. E il modulo del secondo termine è 3. MCD(6 e 3) è uguale a 3. Questo numero è il fattore comune dei termini 6 e 3. Togliamolo dalle parentesi:
L'espressione ottenuta in questo modo non era molto precisa. Molte parentesi e numeri negativi non rendono semplice l'espressione. Pertanto, è possibile utilizzare il secondo metodo, la cui essenza è mettere tra parentesi non 3, ma −3.
Metodo 2.
Proprio come l'ultima volta, sostituiamo la sottrazione con l'addizione.
−6 + (−3)
Questa volta toglieremo dalle parentesi non 3, ma −3
L'espressione ottenuta questa volta sembra molto più semplice. Scriviamo la soluzione più breve per renderla ancora più semplice:
Permettere di togliere un fattore negativo tra parentesi è dovuto al fatto che l'espansione dei numeri −6 e (−3) può essere scritta in due modi: prima rendere negativo il moltiplicando e positivo il moltiplicatore:
−6 = −2 × 3
−3 = −1 × 3
nel secondo caso il moltiplicando può essere reso positivo e il moltiplicatore negativo:
−6 = 2 × (−3)
−3 = 1 × (−3)
Ciò significa che siamo liberi di mettere tra parentesi il fattore che vogliamo.
Esempio 8. Togli il fattore comune tra parentesi nell'espressione −20 − 16 − 2
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione
−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)
Il massimo comun divisore dei termini −20, −16 e −2 è il numero 2. Questo numero è il fattore comune di questi termini. Vediamo come appare:
−20 = −10 × 2
−16 = −8 × 2
−2 = −1 × 2
Ma le espansioni date possono essere sostituite da espansioni identicamente uguali. La differenza sarà che il fattore comune non sarà 2, ma −2
−20 = 10 × (−2)
−16 = 8 × (−2)
−2 = 1 × (−2)
Pertanto, per comodità, possiamo mettere tra parentesi non 2, ma −2
Scriviamo in breve la soluzione di cui sopra:
E se togliessimo 2 tra parentesi, otterremmo un'espressione non del tutto accurata:
Esempio 9. Togli il fattore comune tra parentesi nell'espressione −30 − 36 − 42
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:
−30 + (−36) + (−42)
Il massimo comun divisore dei termini −30, −36 e −42 è il numero 6. Questo numero è il fattore comune di questi termini. Ma tra parentesi non metteremo 6, ma −6, poiché i numeri −30, −36 e −42 possono essere rappresentati come segue:
−30 = 5 × (−6)
−36 = 6 × (−6)
−42 = 7 × (−6)
Togliendo il meno dalle parentesi
Quando si risolvono i problemi, a volte può essere utile mettere il segno meno tra parentesi. Ciò consente di semplificare l'espressione e renderla più semplice.
Considera il seguente esempio. Togli il meno tra parentesi nell'espressione −15 + (−5) + (−3)
Per chiarezza racchiudiamo questa espressione tra parentesi, perché si tratta di togliere il meno da queste parentesi
(−15 + (−5) + (−3))
Quindi, per togliere il meno dalle parentesi, devi scrivere il meno prima delle parentesi e scrivere tutti i termini tra parentesi, ma con segni opposti. Lasciamo invariati i segni dell'operazione (cioè i vantaggi):
−(15 + 5 + 3)
Abbiamo tolto il meno dalle parentesi nell'espressione −15 + (−5) + (−3) e abbiamo ottenuto −(15 + 5 + 3) . Entrambe le espressioni equivalgono allo stesso valore −23
−15 + (−5) + (−3) = −23
−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23
Possiamo quindi mettere un segno uguale tra le espressioni −15 + (−5) + (−3) e −(15 + 5 + 3), perché sono uguali allo stesso valore:
−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)
−23 = −23
Infatti, togliendo il meno dalle parentesi, la legge distributiva della moltiplicazione funziona nuovamente:
a(b + c) = ab + ac
Se scambiamo i lati sinistro e destro di questa identità, risulta che il fattore UN tra parentesi
ab + ac = a(b+c)
La stessa cosa accade quando togliamo il fattore comune in altre espressioni e quando togliamo il meno dalle parentesi.
Ovviamente, quando si toglie un meno tra parentesi, non viene tolto un meno, ma un meno. Abbiamo detto prima che è consuetudine non registrare il coefficiente 1.
Pertanto, davanti alle parentesi si forma un segno meno e i segni dei termini tra parentesi cambiano il loro segno al contrario, poiché ogni termine è diviso per meno uno.
Ritorniamo all'esempio precedente e vediamo in dettaglio come il meno è stato effettivamente tolto dalle parentesi
Esempio 2. Metti il meno tra parentesi nell'espressione −3 + 5 + 11
Mettiamo un meno e accanto tra parentesi scriviamo l'espressione −3 + 5 + 11 con il segno opposto per ogni termine:
−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)
Come nell'esempio precedente, anche qui tra parentesi non viene tolto il meno, ma il meno uno. La soluzione dettagliata è la seguente:
Inizialmente abbiamo ottenuto l'espressione −1(3 + (−5) + (−11)), ma abbiamo aperto le parentesi interne e abbiamo ottenuto l'espressione −(3 − 5 − 11) . L'espansione delle parentesi è l'argomento della prossima lezione, quindi se questo esempio ti risulta difficile, per il momento puoi saltarlo.
Togliere il fattore comune tra parentesi nell'espressione letterale
Togliere il fattore comune tra parentesi in termini letterali è molto più interessante.
Innanzitutto, diamo un'occhiata a un semplice esempio. Lasciamo che ci sia un'espressione 3a + 2a. Togliamo il fattore comune tra parentesi.
In questo caso, il moltiplicatore totale è visibile ad occhio nudo: questo è il moltiplicatore UN. Togliamolo dalle parentesi. Per fare ciò, scriviamo il moltiplicatore stesso UN e accanto tra parentesi scriviamo l'espressione 3a+2a, ma senza moltiplicatore UN poiché è tolto dalle parentesi:
Come nel caso di un'espressione numerica, qui ogni termine viene diviso per il fattore comune tolto. Sembra questo:
Variabili in entrambe le frazioni UN sono stati ridotti di UN. Invece, il numeratore e il denominatore hanno unità. Le unità sono state ottenute perché invece di una variabile UN può essere qualsiasi numero. Questa variabile era situata sia al numeratore che al denominatore. E se il numeratore e il denominatore hanno gli stessi numeri, il massimo comun divisore per loro sarà questo numero stesso.
Ad esempio, se invece di una variabile UN sostituire il numero 4
, allora la costruzione assumerà la seguente forma: 
. Quindi i quattro in entrambe le frazioni possono essere ridotti di 4:
Risulta lo stesso di prima, quando al posto dei quattro c'era una variabile UN .
Non bisogna quindi allarmarsi per la riduzione delle variabili. Una variabile è un moltiplicatore a tutti gli effetti, anche se espressa da una lettera. Tale moltiplicatore può essere tolto tra parentesi, ridotto e altre azioni consentite per i numeri ordinari.
Un'espressione letterale contiene non solo numeri, ma anche lettere (variabili). Pertanto, il fattore comune tolto tra parentesi è spesso un fattore letterale, costituito da un numero e una lettera (coefficiente e variabile). Ad esempio, le seguenti espressioni sono fattori letterali:
3a, 6b, 7ab, a, b, c
Prima di togliere un fattore di questo tipo tra parentesi, devi decidere quale numero sarà nella parte numerica del fattore comune e quale variabile sarà nella parte letterale del fattore comune. In altre parole, è necessario scoprire quale coefficiente avrà il fattore comune e quale variabile sarà inclusa in esso.
Consideriamo l'espressione 10 un+ 15UN. Proviamo a togliere il fattore comune tra parentesi. Per prima cosa decidiamo in cosa consisterà il fattore comune, cioè scopriremo il suo coefficiente e quale variabile sarà inclusa in esso.
Il coefficiente del moltiplicatore comune deve essere il massimo comun divisore dei coefficienti dell'espressione letterale 10 un+ 15UN. 10 e 15, e il loro massimo comun divisore è il numero 5. Ciò significa che il numero 5 sarà il coefficiente del fattore comune tolto tra parentesi.
Ora decidiamo quale variabile sarà inclusa nel fattore comune. Per fare questo devi guardare l'espressione 10 un+ 15UN e trova il fattore lettera incluso in tutti i termini. In questo caso è un fattore UN. Questo fattore è incluso in ciascun termine dell'espressione 10 un+ 15UN. Quindi la variabile UN sarà incluso nella parte letterale del fattore comune tolto tra parentesi:
Ora non resta che calcolare il fattore comune 5a fuori parentesi. Per fare ciò, dividiamo ogni termine dell'espressione 10a + 15a SU 5a. Per chiarezza separeremo coefficienti e numeri con il segno di moltiplicazione (×)
Controlliamo l'espressione risultante. Per fare questo, moltiplichiamo 5a per ogni termine tra parentesi. Se abbiamo fatto tutto correttamente, otterremo l'espressione 10a + 15a
Il fattore lettera non può sempre essere tolto dalle parentesi. A volte il divisore comune è costituito solo da un numero, poiché nell'espressione non c'è nulla di adatto alla parte letterale.
Ad esempio, prendiamo il fattore comune tra parentesi nell'espressione 2a-2b. Qui il fattore comune sarà solo il numero 2 , e tra i fattori delle lettere non ci sono fattori comuni nell'espressione. Pertanto in questo caso verrà tolto solo il moltiplicatore 2
Esempio 2. Estrarre il divisore comune dall'espressione 3x + 9a + 12
I coefficienti di questa espressione sono numeri 3, 9 E 12, il loro MCD è uguale 3 3 . E tra i fattori delle lettere (variabili) non esiste un fattore comune. Pertanto il fattore comune finale è 3
Esempio 3. Inserisci il fattore comune tra parentesi nell'espressione 8x + 6y + 4z + 10 + 2
I coefficienti di questa espressione sono numeri 8, 6, 4, 10 E 2, il loro MCD è uguale 2 . Ciò significa che il coefficiente del fattore comune tolto tra parentesi sarà il numero 2 . E tra i fattori delle lettere non esiste un fattore comune. Pertanto il fattore comune finale è 2
Esempio 4. Elimina il fattore comune 6ab+18ab+3abc
I coefficienti di questa espressione sono numeri 6, 18 e 3, il loro MCD è uguale 3 . Ciò significa che il coefficiente del fattore comune tolto tra parentesi sarà il numero 3 . La parte letterale del fattore comune includerà variabili UN E B, poiché nell'espressione 6ab+18ab+3abc queste due variabili sono incluse in ciascun termine. Pertanto il fattore comune finale è 3ab
Con una soluzione dettagliata, l'espressione diventa macchinosa e persino incomprensibile. In questo esempio questo è più che evidente. Ciò è dovuto al fatto che annulliamo i fattori nel numeratore e nel denominatore. È meglio farlo nella tua testa e annotare immediatamente i risultati della divisione. Quindi l'espressione diventa breve e precisa:
Come nel caso di un'espressione numerica, in un'espressione letterale il fattore comune può essere negativo.
Ad esempio, prendiamo il fattore comune tra parentesi nell'espressione −3a − 2a.
Per comodità sostituiamo la sottrazione con l’addizione
−3a − 2a = −3a + (−2a )
Il fattore comune in questa espressione è il fattore UN. Ma non solo possiamo tenerne conto UN, ma anche −a. Togliamolo tra parentesi:
Si è rivelata un'espressione chiara −a (3+2). Non va dimenticato il moltiplicatore −a sembrava davvero −1a e dopo la riduzione di entrambe le frazioni di variabili UN, meno uno rimane ai denominatori. Pertanto, alla fine, tra parentesi otteniamo risposte positive
Esempio 6. Inserisci il fattore comune tra parentesi nell'espressione −6x − 6a
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione
−6x−6y = −6x+(−6y)
Mettiamolo fuori parentesi −6
Scriviamo brevemente la soluzione:
−6x − 6y = −6(x + y)
Esempio 7. Inserisci il fattore comune tra parentesi nell'espressione −2a − 4b − 6c
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione
−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)
Mettiamolo fuori parentesi −2
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\(5x+xy\) può essere rappresentato come \(x(5+y)\). Si tratta infatti di espressioni identiche, lo possiamo verificare se apriamo le parentesi: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Come puoi vedere, di conseguenza otteniamo l'espressione originale. Ciò significa che \(5x+xy\) è effettivamente uguale a \(x(5+y)\). A proposito, questo è un modo affidabile per verificare la correttezza dei fattori comuni: apri la parentesi risultante e confronta il risultato con l'espressione originale.
La regola principale per il bracketing:
Ad esempio, nell'espressione \(3ab+5bc-abc\) solo \(b\) può essere tolto dalla parentesi, perché è l'unico presente in tutti e tre i termini. Il processo di estrazione dei fattori comuni dalle parentesi è mostrato nel diagramma seguente:
Regole di parentesi
In matematica è consuetudine eliminare tutti i fattori comuni contemporaneamente.
Esempio:\(3xy-3xz=3x(yz)\)
Tieni presente che qui potremmo espandere in questo modo: \(3(xy-xz)\) o in questo modo: \(x(3y-3z)\). Si tratterebbe però di scomposizioni incomplete. Sia la C che la X devono essere tolte.
A volte i membri comuni non sono immediatamente visibili.
Esempio:\(10x-15a=2·5·x-3·5·y=5(2x-3a)\)
In questo caso il termine comune (cinque) era nascosto. Tuttavia, avendo espanso \(10\) come \(2\) moltiplicato per \(5\), e \(15\) come \(3\) moltiplicato per \(5\) - abbiamo “tirato i cinque nel luce di Dio”, dopo di che riuscirono facilmente a toglierlo dal supporto.
Se un monomio viene rimosso completamente, ne rimane uno.
Esempio: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Mettiamo \(x\) fuori parentesi e il terzo monomio consiste solo di x. Perché se ne resta? Perché se una qualsiasi espressione viene moltiplicata per uno, non cambierà. Cioè, lo stesso \(x\) può essere rappresentato come \(1\cdot x\). Quindi abbiamo la seguente catena di trasformazioni:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Inoltre, questo è l'unico modo corretto per estrarlo, perché se non ne lasciamo uno, aprendo le parentesi non torneremo all'espressione originale. Infatti, se eseguiamo l'estrazione in questo modo \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), una volta espanso otterremo \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Manca il terzo membro. Ciò significa che tale affermazione non è corretta.
È possibile inserire un segno meno all'esterno della parentesi e i segni dei termini tra parentesi verranno invertiti.
Esempio:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
In sostanza, qui mettiamo il “meno uno”, che può essere “selezionato” davanti a qualsiasi monomio, anche se davanti non c'è il meno. Usiamo qui il fatto che uno può essere scritto come \((-1) \cdot (-1)\). Ecco lo stesso esempio, descritto in dettaglio:
\(xy=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(yx)\)
Anche una parentesi può essere un fattore comune.
Esempio:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Molto spesso incontriamo questa situazione (rimozione di parentesi da parentesi) quando si fattorizza utilizzando il metodo di raggruppamento o
Lezione di algebra in 7a elementare.
Argomento: “Mettere il fattore comune tra parentesi”.
Libro di testo Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. e così via.
Obiettivi della lezione:
Educativo –
identificare il livello di padronanza da parte degli studenti di un complesso di conoscenze e abilità nell'uso delle abilità di moltiplicazione e divisione;
sviluppare la capacità di applicare la fattorizzazione di un polinomio ponendo il fattore comune fuori parentesi;
applicare la rimozione del fattore comune dalle parentesi durante la risoluzione delle equazioni.
Sviluppo –
promuovere lo sviluppo dell'osservazione, la capacità di analizzare, confrontare e trarre conclusioni;
sviluppare capacità di autocontrollo durante il completamento dei compiti.
Educativo -
promuovere la responsabilità, l’attività, l’indipendenza, l’autostima oggettiva.
Tipo di lezione: combinato.
Principali risultati di apprendimento:
essere in grado di togliere il fattore comune tra parentesi;
essere in grado di applicare questo metodo durante la risoluzione degli esercizi.
Mossalezione.
1 modulo (30 minuti).
1. Organizzare il tempo.
Saluti;
preparare gli studenti al lavoro.
2. Controllo dei compiti.
Verificare la disponibilità (in servizio), discutere le questioni emerse.
3 . Aggiornamento delle conoscenze di base.
N Trova MCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).
Cos'è il GCD?
Come viene effettuata la divisione dei poteri con le stesse basi?
Come si esegue la moltiplicazione delle potenze con le stesse basi?
Per questi gradi (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Nomina il grado con l'esponente più piccolo, le stesse basi, gli stessi esponenti
Ripetiamo la legge distributiva della moltiplicazione. Scrivilo sotto forma di lettera
a(b+c) = ab+ac
* - segno di moltiplicazione
Completare compiti orali sull'applicazione della proprietà distributiva. (Prepararsi alla lavagna).
1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5
2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)
3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)
I compiti vengono scritti su una lavagna chiusa, i ragazzi risolvono e scrivono il risultato sulla lavagna. Problemi che coinvolgono la moltiplicazione di un monomio per un polinomio.
Per cominciare, ti offro un esempio di moltiplicazione di un monomio per un polinomio:
2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 y – 6x Non lavare!
Scrivi la regola per moltiplicare un monomio per un polinomio sotto forma di diagramma.
Sulla lavagna appare una nota:
Posso scrivere questa proprietà come:
In questa forma, abbiamo già utilizzato la notazione per un modo semplice per valutare le espressioni.
a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500
Il resto è orale, controlla le risposte:
e) 55*682 – 45*682 = 6820
g) 7300*3 + 730*70 = 73000
h) 500*38 – 50*80 = 15000
Quale legge ti ha aiutato a trovare un modo semplice per calcolare? (Distribuzione)
In effetti, la legge distributiva aiuta a semplificare le espressioni.
4 . Stabilire l'obiettivo e l'argomento della lezione. Conteggio verbale. Indovina l'argomento della lezione.
Lavoro in coppia.
Carte per coppie.
Si scopre che la fattorizzazione di un'espressione è l'operazione inversa della moltiplicazione termine per termine di un monomio per un polinomio.
Diamo un'occhiata allo stesso esempio risolto dallo studente, ma in ordine inverso. Factoring significa togliere il fattore comune tra parentesi.
2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).
Oggi nella lezione esamineremo i concetti di fattorizzazione di un polinomio e di estrazione del fattore comune tra parentesi, e impareremo ad applicare questi concetti durante gli esercizi.
Algoritmo per togliere il fattore comune dalle parentesi
Il massimo comun divisore dei coefficienti.
Stesse variabili di lettere.
Aggiungi il grado più piccolo alle variabili rimosse.
Poi si scrivono tra parentesi i rimanenti monomi del polinomio.
Il massimo comun divisore è stato trovato nei gradi più bassi, la variabile comune al grado minimo è immediatamente visibile. E per trovare rapidamente il polinomio rimasto tra parentesi, devi esercitarti con l'uso del numero 657.
5. Apprendimento primario parlando ad alta voce.
N. 657 (1 colonna)
Modulo 2 (30 minuti).
1. Il risultato dei primi 30 minuti.
A) Quale trasformazione si chiama fattorizzazione di un polinomio?
B) Quale proprietà si basa sull'estrazione del fattore comune tra parentesi?
D) Come si toglie il fattore comune dalle parentesi?
2. Consolidamento primario.
Le espressioni sono scritte alla lavagna. Trova eventuali errori in queste uguaglianze e correggili.
1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).
2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).
3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3 y).
4) un 6 – un 2 = un 2 (un 2 – 1).
5) 4 -2a = – 2 (2 – a).
3. Verifica iniziale della comprensione.
Lavorare con l'autotest. 2 persone sul retro
Togli il fattore comune tra parentesi:
Controlla verbalmente mediante moltiplicazione.
4. Preparare gli studenti per le attività generali.
Togliamo il fattore polinomiale tra parentesi (spiegazione dell'insegnante).
Fattorizzare il polinomio.
In questa espressione vediamo che c'è lo stesso fattore, che può essere tolto tra parentesi. Quindi, otteniamo:
Le espressioni e sono opposte, quindi in alcuni casi è possibile utilizzare questa uguaglianza 
. Cambiamo segno due volte! Fattorizzare il polinomio 
Qui ci sono espressioni opposte e, utilizzando l'identità precedente, otteniamo la seguente voce: .
E ora vediamo che il fattore comune può essere tolto tra parentesi.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di come togliere il fattore comune tra parentesi per rendere più chiaro come farlo.
Esempi di come collocare un fattore comune tra parentesi
Esempio 1.
Il compito di fattorizzare un polinomio
d) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c
e) 5*a^4-10*a^3+15*a^5
Soluzione
a) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Qui toglieremo il fattore comune tra parentesi, in questo caso 2
b) a^3+a^2= (a^2) * (a+1) Se abbiamo 1 o più variabili in un polinomio, allora possiamo toglierlo tra parentesi (la variabile deve essere presa con il grado più basso nella frazione)
c) Nell'esempio successivo, abbiamo applicato le abilità dei due esempi precedenti, come mettere il numero totale tra parentesi e una variabile comune, e come risultato otteniamo: 4*a^3+6*a^2 = 2*(a^2)*2*a + 2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)
d) Solitamente per i coefficienti interi non si trova il divisore comune, ma il divisore più grande, ad esempio per 12 e 18 sarà il numero 6, e per 8 e 4 sarà 4,
Esiste anche una variabile b e per essa l'indicatore più piccolo è 3,
E per la variabile a, la potenza più piccola sarà uguale a 1.
Per la variabile c non esiste un esponente minimo, infatti, non esiste alcuna variabile nel primo termine.
12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3 *a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).
e) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)
In questo esempio abbiamo sviluppato un algoritmo:
Sulla base di diversi esempi sopra, svilupperemo diverse regole:
1. Innanzitutto dobbiamo trovare il fattore numerico più grande nella frazione per semplificare il più possibile l'espressione.
3. Infine, combiniamo le prime due regole e otteniamo che dobbiamo fattorizzare il prodotto del fattore numerico più grande e delle variabili con l'esponente più piccolo.
Commento. A volte dobbiamo mettere il fattore frazionario tra parentesi, questo viene fatto perché a volte dobbiamo lavorare con le frazioni perché Semplicemente non ci sono altri numeri. Per esempio:
2,4*x+7, 2*y = 2,4*(x+3*y)
3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).
Esempio 2.
Fattorizzare:
-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)
Soluzione sarà costituito dall'algoritmo che abbiamo sviluppato:
1) Troviamo il fattore numerico più grande nel nostro esempio: -1, -2 e 5.
2) La variabile X è in tutti i polinomi e possiamo estrarla con l'esponente più piccolo, tutte le potenze X4, 3, 2; la potenza più piccola è x^2, che è ciò che elimineremo.
3) La variabile y non è inclusa in tutti i membri del polinomio, quindi non abbiamo il diritto di rimuoverla
Di conseguenza, possiamo eliminare x^2. Ma nel nostro esempio sarà più conveniente eliminare x^2. Quindi otteniamo:
-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y ^3) +2*x*(y^2) -5)
Esempio 3.
È possibile dividere 5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) per 5*a^3? Se possibile, allora facciamo la divisione.
All'inizio abbiamo espanso questo polinomio, quindi utilizzeremo ciò che abbiamo ottenuto in precedenza:
5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3 * (a 2 +(a^2))
Risulta che è possibile dividere per 5*a^3, il risultato è a - 2 + 3*(a^2).
Consideriamo ora il caso in cui non dobbiamo eliminare un monomio, ma la loro somma, sfortunatamente a volte semplicemente non possiamo togliere il monomio tra parentesi;
Nel corso di varie operazioni matematiche quando si lavora con equazioni e uguaglianze, spesso diventa possibile semplificare in modo significativo tutte le operazioni ponendo un certo fattore comune al di fuori dell'espressione stessa. Ciò consente non solo di ridurre grandi gruppi del polinomio, ma anche di semplificare il processo di soluzione stesso.
L'aggiunta di un moltiplicatore consente inoltre di eliminare passaggi non necessari e di ottimizzare il processo di calcolo. In questo video tutorial studieremo in dettaglio le possibilità della procedura di rimozione. Consideriamo ad esempio un'espressione della forma seguente:
Dobbiamo trasformarlo in modo che, dati i valori noti di tutte le variabili, sia facile calcolare il valore dell'intero polinomio. Poniamo a=1, c=2, x=5. Notiamo che entrambi i termini del polinomio hanno una parte comune: la variabile fattore x. Si toglie facilmente tra parentesi, secondo la legge distributiva della moltiplicazione:
ax + cx = x(a + c)
Per trovare il lato destro di questa uguaglianza è necessario dividere ciascun monomio del polinomio originale per un fattore comune approvato (in questo caso x), scrivere il quoziente come somma algebrica tra parentesi e anteporre il fattore stesso di loro. Guidati dai valori dati delle variabili, otteniamo:
ax + cx = x(a + c) = 5(1 + 2) = 15
Il video tutorial sottolinea che l'inserimento del moltiplicatore tra parentesi nell'esempio presentato ha ridotto il numero di passaggi di calcolo da tre a due. Negli esercizi più complessi l’effetto di semplificazione può essere ancora più significativo. E molte equazioni sono molto difficili da risolvere senza utilizzare il metodo dei moltiplicatori.
In generale, togliere il fattore comune tra parentesi nei polinomi è chiamato processo di scomposizione del polinomio in fattori individuali. Per elaborare i dati viene utilizzato il seguente algoritmo:
- È evidenziato il gruppo di lavoro dell'espressione (polinomio);
- Si cerca un fattore opportuno per il quale ciascun monomio possa essere diviso;
- I monomi vengono divisi per un fattore selezionato, e i risultati vengono scritti al posto dei monomi, come somma algebrica;
- Il polinomio risultante è messo tra parentesi e il fattore comune è posto davanti ad esse.
Spesso sorgono problemi quando si sceglie un moltiplicatore. Innanzitutto deve corrispondere al numero massimo di monomi, dividendo idealmente tutti i monomi. In secondo luogo, nei problemi complessi è necessario selezionare un fattore tale che permetta di portare avanti la soluzione dell'intero esercizio, facilitando l'intero procedimento. Di norma, se non esiste una condizione rigorosa dall'esterno (nelle equazioni, ad esempio), il fattore viene selezionato secondo i principi: adatto a tutti i monomi ed essendo il più grande in grado e coefficiente della variabile. In altre parole, il moltiplicatore deve includere tutte le variabili, la massima potenza possibile e il massimo multiplo del coefficiente numerico. Diamo un'occhiata ad un esempio:
2x 2 anni - 8x 2 anni + 4x 2 +4x 3 anni 2
È abbastanza ovvio che in questa espressione per tutti i monomi il moltiplicatore più accettabile sarà la variabile x, portata alla seconda potenza (la massima ammissibile) e con coefficiente numerico pari a 2, cioè 2×2:
2x 2 y - 8x 2 y + 4x 2 + 4x 3 y 2 = 2x 2 (y - 4y + 2xy 2) = 2x 2 (2xy 2 - 3y)
Eseguiamo le azioni tra parentesi e otteniamo la risposta finale, che è il prodotto di un polinomio e un fattore monomiale.
Diamo un'occhiata a un altro esempio. È necessario trasformare l'espressione in questo modo:
2x(4-y) + x(y-4)
A prima vista, è difficile togliere qualcosa dalle parentesi qui, ad eccezione della variabile x, la cui rimozione creerà doppie parentesi e complicherà solo il polinomio, quindi questo passaggio è inappropriato. Tuttavia, seguendo la logica standard e le regole di base dell'addizione matematica, possiamo scrivere con sicurezza che:
(y-4) = -(4-y)
Se il meno dell'espressione destra viene portato all'interno, tutti i segni interni cambieranno al contrario, formando un'espressione completamente identica al lato sinistro. Pertanto sarebbe corretto scrivere:
2x(4-y) + x(y-4) = 2x(4-y) - x(4-y)
Ora entrambi i termini del polinomio contengono un fattore comune (4-y), che può essere facilmente tolto dalle parentesi continuando ulteriori calcoli:
2x(4-y) - x(4-y) = (4-y)(2x - x) = (4-y)x = 4x - yx
Le ultime due fasi di calcolo non si riferiscono alla procedura generale per l'assegnazione di un moltiplicatore e costituiscono una soluzione individuale a questo esempio. Lo stesso processo di sottrazione ci dà il prodotto di due binomi elementari.
